* Série télé et figurants

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

L’équipe de tournage d’une série fait appel à une société de démarchage téléphonique afin de recruter des figurants bénévoles pour le dernier épisode de la saison de cette série. La société de démarchage estime que, lorsqu’une personne est contactée pour ce type de demande, la probabilité qu’elle accepte est de \(0{,}04\). En une heure, un conseiller de cette société peut contacter \(30\) personnes différentes.

On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de personnes qui acceptent la demande
parmi celles contactées par un conseiller en une heure.

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’en une heure, toutes les personnes appelées par un conseiller refusent la demande.
3. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’en une heure, exactement une des personnes contactées par un conseiller accepte la demande.
4. Calculer \(E(X)\) et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.
5. Combien la société doit-elle prévoir d’heures de travail pour ses conseillers pour espérer recruter les \(55\) figurants dont l’équipe de tournage a besoin ?